Beschleunigungen
Nachdem wir uns jetzt eingehend mit der mathematischen Struktur von Geschwindigkeiten in der SRT beschäftigt haben werden uns nun einem weiteren Thema widmen, was aber zugegebenermaßen nicht die größte Rolle in Olympiade Aufgaben spielt. Nichtsdestotrotz kommt es trotzdem hin und wieder vor und es gut sich damit schon einmal auseinander gesetzt zu haben. Die Rede ist von Beschleunigungen (wie aus der Überschrift ersichtlich). Nun wie behandelt man Beschleunigungen in der SRT? Bei den Geschwindigkeiten haben wir gemerkt das es im allgemeinen keine gute Idee Objekte die nicht schön transformieren miteinader zu verrechnen. Und wie gezeigt wurde ist weder die klassische Geschwindigkeit noch die Koordinatenzeit ein solches Objekt. Doch auch hier können wir alte Tricks wiederholen. Wir haben gesehen, das bei einer Ableitung eines Vierervektors nach einer invarianten wieder ein Vierervektor (Der Lorentztransformationsteil der Poincarétransformation bleibt bestehen und jede Verschiebung wird auch 0 gekürzt) entsteht. Und glücklicherweise haben wir sowohl für die Geschwindigkeit als auch für die Zeit ein solches Ersatzobjekt gefunden. Es ist also relativ logisch die Viererbeschleunigung wie folgt zu definieren:
\[ a^{\mu} = \frac{d^{} v^{\mu}}{d \tau^{}}\]Nun können wir diesen Vierervektor nach verschiedenen Eigenschaften untersuchen die uns vielleicht interessieren. Zunächst den Betrag des Vektors. Da dieser bezugssysteminvariant ist können wir das Bezugssystem in dem wir ihn ausrechnen wollen geschickt wählen um die Berechnung zu vereinfachen. Das Bezugssystem was hier am sinnvollsten scheint ist jenes in dem das Beschleunigte Objekt ruht und in x Richtung beschleunigt wird.
Dann gilt:
\[ a^{0} = \frac{d^{} v^{0}}{d \tau^{}} = \frac{d^{} \gamma}{d \tau^{}} = \frac{d^{} \gamma}{d t^{}} = 0 \]Hierbei habe ich genutzt das bei einem ruhenden Objekt Eigenzeit und Koordinatenzeit übereinstimmen, und das \(\gamma\) er in zweiter Näherung mit der Geschwindigkeit zunimmt, was bedeutet, wenn wir aus dem Stand beschleunigen, nimmmt \(\gamma\) im ersten Moment nicht zu. \(a^{2}\) und \(a^{3}\) sind offenbar auch \(0\). Bleibt nur noch \(a^{1}\):
\[ a^{1} = \frac{d^{} v^{1}}{d \tau^{}} = \frac{d^{} \beta \gamma}{d t^{}} = \frac{d^{} \beta}{d t^{}} = a_{\text{klassisch}}\]Der Betrag der Viererbeschleunigung ist als der Betrag der klassischen Beschleunigung die der beschleunigte Beobachter misst. Ein andere Invariante die wir noch gefunden haben ist das Punktprodukt und anhand der obigen Rechnung kann man auch sofort sehen, das das Punktprodukt der Beschleunigung mit der Geschwindigkeit \(0\) sein muss. Das kann man auch an folgender Rechnung sehen:
\[ 0 = \frac{d^{} 1}{d \tau^{}} = \frac{d^{} v_{\mu} v^{\mu}}{d \tau^{}} = v_{\mu} \frac{d^{} v^{\mu}}{d \tau^{}} + v^{\mu} \frac{d^{} v_{\mu}}{d \tau^{}} = 2 v_{\mu} \frac{d^{} v^{\mu}}{d \tau^{}} = 2 v_{\mu} a^{\mu} \]Dabei ist der Kernschritt der dritte, indem die Produktregel auf das Punktprodukt angewendet wurde. Es ist relativ leicht nachzuprüfen das diese tatsächlich auch für Punktprodukte gilt. Der Kern der Argumentation ist hier sehr physikalisch, der Betrag der Vierergeschwindigkeit ist konstant, also muss ihre Ableitung rechtwinklig (im Sinne der Minkowskimetrik, also orthogonal also Punktprodukt null) zu ihr sein.
Formel für die Viererbeschleunigung
Die Viererbeschleunigung aus der klassischen Beschleunigung zu Berechnen ist äußerst hässlich. Häufig kann man mit den Bedingungen durch das Punktprodukt mit sich selber und der Geschwindigkeit den kompletten Viererbeschleunigungsvektor berechennen (Achtung der Raumteil der Viererbeschleunigung ist nicht parallel zu klassischen Beschleunigung s.u.). Das ist meistens dann möglich wenn man Richtung der Beschleunigung im Bezugssystem des beschleunigten Objektes kennt, oder wenn das Problem nur eine Raumkoordinate betrachtet. Manchmal ist das alles nicht der Fall und man muss sie aus der Dreierbeschleunigung \(\vec{a_{k}}\) berechnen. Das wird aber in Olympiaden nicht vorkommen und kann dort immer durch geschickte Betrachtungen Umgangen werden. Die Formel gebe ich hier zur Vollständigkeit trotzdem an:
\[ a^{\mu} = \begin{pmatrix} \gamma^{4} \vec{v_{k}} \dot{} \vec{a_{k}} \\ \gamma^{4} \left( \vec{v_{k}}\dot{}\vec{a_{k}} \right) \vec{v_{k}} + \gamma^{2} \vec{a_{k}} \end{pmatrix} \]Wie man sieht ist das äußerst hässlich und gibt wenig physikalische Einsicht. Man könnte es als Demonstration verstehen, wie wichtig es ist sich in der SRT immer an Objekten zu Orientieren die schön transformieren und das sind insbesondere Invarianten und Vierervektor. Wenn man davon Abweicht kommt man in kürzester Zeit zu ausdrücken wie oben. Auch interessant ist, das man diesem Objekt keinesfalls ansehen kann, das es wie ein Vierervektor transformiert. Das liegt daran das eine Reihe von Objekten die komisch transformieren genau in solcher Art und Weise verrechnet werden, das sich die seltsamen Komponenten der Transformation wegheben.
Die Formel kann hergeleitet werden, indem man die Komponenten der Viererbeschleunigung die durch die Definition gegeben werden solange mit Kettenregeln ableitet, bis man alles in Abhängigkeit der klassischen Größen als Ort einmal und zweimal nach der Koordinatenzeit abgeleitet stehen hat.
Auch kann man sehen das der Raumteil der Viererbeschleunigung nur in einem Summanden parallel zur klassischen Beschleunigung ist, und somit insgesamt nicht parallel. Das sollte man Beachten. Richtungsinformationen über die klassische Beschleunigung lassen sich nur schwer in die Viererbeschleunigung übersetzen, wenn das Objekt bereits eine Geschwindigkeit hat die nicht parallel zur Beschleunigung ist.
Rapidität und Beschleunigung
Eine weitere interessante Perspektive eröffnet sich wenn man sich ins Gedächtnis ruft, das Rapidität und Eigenzeit beide in ihre klassischen Größen übergehen, wenn die Geschwindigkeit klein ist. Und somit ist der Betrag der Viererbeschleunigung und damit auch der Betrag der klassischen Beschleunigung die ein beschleunigter Beobachter misst gleich der Ableitung der Rapidität des beschleunigten Objektes nach seiner Eigenzeit. Die Rapidität ist bei konstanter Beschleunigung also proportional zur Eigenzeit des beschleunigten Beobachters.
\[ | a | = \frac{d^{} \varphi}{d \tau^{}} \]Da die Rapiditätsdifferenz und die Eigenzeit aber beide invariante Größen sind, bedeutet dies, dass diese Gleichung immer gilt, auch dann, wenn das Beobachtete Objekt nicht mehr langsam ist. Das ist eine sehr mächtige Gleichung, welche genutzt werden kann, um sehr viel Rechenaufwand zu umschiffen, indem man die Beschleunigung in einem geeigneten Bezugssystem ausrechnet.