Rapidität
Wenn man Physikalische Probleme im Gerüst der speziellen Relativitätstheorie löst stößt man bei vielen Größen die sich klassisch leicht handhaben lassen schnell auf Probleme. Eine dieser Größe ist die Geschwindigkeit. In der klassischen Physik ist sie insbesondere deswegen hübsch, weil sie additiv ist. Wenn Beobachter A Beobachter B mit der Geschwindigkeit \(u\) sieht und dieser Objekt C mit der Geschwindigkeit \(u\), dann hat das Objekt für den Beobachter A die Geschwindigkeit \(u + v\), oder wenn man ins Dreidimensionale geht, mit Vectoren \(\vec{u} + \vec{v}\).
In der relativistischen Physik lässt sich keine Größe konstruieren, die all diese Eigenschaften der Geschwindigkeit wieder spiegelt, man wird kompliziertere Formel nicht vermeiden können, doch es geht im allgemeinen wesentlich schöner, als es einem nach einem ersten Streifzug durch die SRT vielleicht klar ist.
Betrachten wir dafür die Additionsformel für die Geschwindigkeiten in der SRT:
\[ v = \frac{u + u'}{1 + u \cdot u'} \]Dabei nutze ich als Einheit für die Strecke Sekunde, sodass eine Sekunde genauso lang ist wie eine lichtsekunde, wodurch \(c = 1\). Wen das näher interessiert der kann das gerne hier nachlesen.
Das Ziel ist es nun ein hübsches Maß für die Geschwindigkeit in der SRT zu konstruieren. Das maß was durch die Formel \(v = \frac{dx}{dt}\) definiert ist, ist offenbar nicht besonders schön, denn die Additionsformel ist hässlich. Wir hätten also gerne ein anderes Maß, welches dann offensichtlich nicht mehr die Ableitung des Ortes nach der Zeit ist, aber dafür vielleicht andere schöne Eigenschaften hat. Optimal wäre es natürlich wenn wir die echte Geschwindigkeit leicht aus unserem neuen Maß berechnen könnten.
Nun ist es an der Zeit zu überlegen, was dieses Maß genau erfüllen sollte und ein guter Start ist sicherlich zu verlangen, dass sich das neue Maß bei parallelen Geschwindigkeit additiv verhält. Das Maß wird charakterisiert durch ein funktion \(\varphi\), mit welchem es sich aus der Geschwindigkeit berechnen lässt. Es soll also gelten:
\[ \varphi^{-1}\left( v + u \right) = \frac{\varphi^{-1}\left( v \right) + \varphi^{-1}\left( u \right)}{1 + \varphi^{-1}\left( u \right) \varphi^{-1}\left( v \right)} \]Denn unser neues Maß soll additiv sein, aber es muss auch weiterhin die Geschwindigkeitsaddtionsformel gelten. Das ist eine funtkionalgleichung und ein geübter Mathe Olympionik könnte sie vielleicht lösen, aber wir als Physiker wissen, das unsere Maß sicherlich differnzierbar in \(v\) ist sodass wir die Gleichung einfach ableiten können:
\[ \varphi^{-1}\left( u + dv \right) = \frac{\varphi^{-1}\left( u \right) + \varphi^{-1}\left( dv \right)}{1 + \varphi^{-1}\left( u \right)\varphi^{-1}\left( dv \right)} = \varphi^{-1}\left( u \right) + \left( 1 - \varphi^{-1}\left( u \right)^{2} \right) \varphi^{-1 '}\left( 0 \right) dv \]Dabei habe ich genutzt dass \(\varphi^{-1}\left( 0 \right) = 0\), denn wenn man \(v = 0\) setzt erhält man:
\[ \varphi^{-1}\left( u \right) = \frac{\varphi^{-1}\left( u \right) + \varphi^{-1}\left( 0 \right)}{ 1 + \varphi^{-1}\left( u \right)\varphi^{-1}\left( 0 \right)} \]Was nur für \(\varphi^{-1}\left( 0 \right) = 0\) erfüllt ist. Damit ist \(\varphi^{-1}\left( dv \right) \approx 0\) und damit kann man die Formel oben Tylor nähern womit man bei obiger Gleichung heraus kommt.
Wer besonders gutes Mathematisches Gespür hat, dem wird auffallen, das wir selbst mit der Additionsformel nicht genug Informationen haben, um selbst dieses eindimensionale Maß zu fixieren, man könnte es nämlich mit einer beliebigen konstante multiplizieren ohne eine der Bedingungen zu verletzten. Diesen Freiheitsgrad kann man aber fixieren in dem man die Ableitung an einem Punkt fixiert. Und da es angenehm wäre wenn das neue Maß für kleine Geschwindigkeiten mit der Geschwindigkeit übereinstimmt, werde ich \(\varphi^{-1'}\left( 0 \right) = 1\) setzen, womit die Gleichung zu einer lösbaren Differentialgleichung wird.
\[ \frac{d\varphi^{-1 }\left( u \right)}{du} = 1 - \varphi^{-1}\left( u \right)^{2} \]Diese Differentialgleichung ist integrierbar, oder als Standerdintegral aus dem Tafelwerk ablesbar, die genau Methode wie man diese DGL löst ist hier nicht interessant, da das ein Physik und kein Mathe Post ist, aber die Lösung ist interessant:
\[ \varphi^{-1} \left( u \right) = \tanh\left(u\right)\]Und damit:
\[ \varphi\left( u \right) = \operatorname {artanh}\left(u\right) \]Die neue größe erfüllt auf den ersten Blick alle ‘sanity-Checks’, sie hat die Nullstelle \(0\), hat die Ableitung \(1\) am Koordinaten Ursprung und ihre Umkehrfunktion ist nach oben und unten auf \(1\) und \(-1\) beschränkt, was gut ist, denn sonst könnte man beliebig viele Beobachter mit der gleichen Geschwindigkeit und damit dem gleichen neuen Geschwindigkeitsmaß ‘aneinander Ketten’ und würde beliebige hohe Werte des neuen Maßen erreichen und dann wenn die Umkehrfunktion nicht beschränkt wäre auch Werte für eine Geschwindigkeit über \(c\).
Dieses neue Maß bezeichnet man in der Physik als Rapidität.
Und in der Tat, für den \(\tanh\) gilt:
\[ \tanh\left(a + b\right) = \frac{\tanh\left(a\right) + \tanh\left(b\right)}{1 + \tanh\left(a\right) \tanh\left(b\right)} \]