Beschleunigungen

Nachdem wir uns jetzt eingehend mit der mathematischen Struktur von Geschwindigkeiten in der SRT beschäftigt haben werden uns nun einem weiteren Thema widmen, was aber zugegebenermaßen nicht die größte Rolle in Olympiade Aufgaben spielt. Nichtsdestotrotz kommt es trotzdem hin und wieder vor und es gut sich damit schon einmal auseinander gesetzt zu haben. Die Rede ist von Beschleunigungen (wie aus der Überschrift ersichtlich). Nun wie behandelt man Beschleunigungen in der SRT? Bei den Geschwindigkeiten haben wir gemerkt das es im allgemeinen keine gute Idee Objekte die nicht schön transformieren miteinader zu verrechnen. Und wie gezeigt wurde ist weder die klassische Geschwindigkeit noch die Koordinatenzeit ein solches Objekt. Doch auch hier können wir alte Tricks wiederholen. Wir haben gesehen, das bei einer Ableitung eines Vierervektors nach einer invarianten wieder ein Vierervektor (Der Lorentztransformationsteil der Poincarétransformation bleibt bestehen und jede Verschiebung wird auch 0 gekürzt) entsteht. Und glücklicherweise haben wir sowohl für die Geschwindigkeit als auch für die Zeit ein solches Ersatzobjekt gefunden. Es ist also relativ logisch die Viererbeschleunigung wie folgt zu definieren:

Punktprodukte

Ein erster Einsatz für den hyperbolischen Kosinussatz ist, die Geschwindigkeit auszurechnen mit denen sich zwei Beobachter sehen die sich mit bekannten Geschwindigkeiten bewegen. Lass uns sagen wir kennen die beiden Vierergeschwindigkeiten.

Wir gerade berechnet gilt:

Nun die Kosinushyperbolikusse der Rapiditäten sind einfach die \(0\). Komponenten der Vektoren. Und die Sinushyperbolikusse sind die Beträge der Raumanteile der Vierergeschwindigkeiten (s.o.):

Aber die Beträge der Raumanteile (die ich hier mit Vektorpfeilen markiert habe) mal der Kosinus zwischen den Raumanteile ist einfach deren Punkt produkt:

Halbhyperboloid

Es ist Zeit die Raum näher zu untersuchen, in denen die Geschwindigkeiten leben. Die Raum aller Vektoren wird als Minkowskiraum bezeichnet. (Er unterscheidet sich vom \(\mathbb{R}^{4}\) insofern, dass wir ein neues Längenmaß definiert haben). Den Raum aller Vektoren der Länge \(1\) mit positiver erster Komponente, bezeichnen wir als oberen Halbhyperboloid. Er wird bei allen Poincarétransformationen auf sich selber abgebildet, außer bei jenen die eine Zeitreflexion beinhalten, dann geht er aber komplett in den unteren Halbhyperboloid über, sodass sich die Struktur nicht ändert. Er hat drei Dimensionen (was Sinn macht da die Geschwindigkeit ein dreidimensionaler Vektor ist, und die änderung unseres Modell zu einer Vierdimensionalen Raumzeit nicht einfach einen Freiheitsgrad für die Geschwindigkeit erzeugen sollte, dieser wird durch die Fixierung der Länge des Geschwindigkeitsvektors wieder herausgenommen).

Vierergeschwindigkeiten

Wir haben eben schon gesehen, dass Differenzen von Raumzeitpunkten als Vektor transformieren. Doch bei näherer Betrachtung, ist das Konzept der Ableitung und damit das Konzept der Geschwindigkeit sehr nah mit dem Konzept Differenz verwand. Die Geschwindigkeit ist der Grenzwert der Differenz, der Positionen zweier Aufeinanderfolgender Momente geteilt durch die vergangene Zeit. Den ersten Teil können wir leicht in die SRT übertragen. Die Differenz der Koordinaten der Raumzeitpunkte eines Teilchens, bei aufeinanderfolgenden Punkte ist leicht genommen, wir erhalten sogar eine Zusätzliche Komponente, weil auch die Differenz der Zeitkoordinate bilden. Doch der Zweite Teil macht uns Ärger, denn das Teilen durch die Zeit und das Grenzwert bilden, mit dem die Zeit gegen 0 geht macht das Transformationsverhalten kaputt. Wäre die Zeit invariant, dann würde das keine Problem bilden, den dann hätten wir eine Klasse von Vektoren die von einer reellen Variable abhängen, von der man den Grenzwert nimmt, wenn diese Reelle variable gegen \(0\) geht. Und dabei macht es Sicherlich keinen unterschied ob man erst den Grenzwert bildet und dann Transformiert, doer erst alle Vektoren transformiert und dann den Grenzwert bildet. Es handelt sich um das Grenzwertgesetz \( \lim_{x \to 0} a \cdot f\left( x \right) = a \lim_{x \to 0} f\left( x \right) \), bloß das \(a\) eine Matrix ist und \(f\left( x \right)\) ein Vektor (kann leicht aus den Grundlegenden Grenzwertsätzen bewiesen werden, ist aber nicht besonders aufschlussreich). Leider ist die Zeit keine Invariante der Lorentztransformation (Das ist schließlich der Unique selling Point von SRT!), wodurch wir unseren sehr hübsch transformierenden Vektor durch eine nicht invariante Teilen und anschließend auch noch einen Limes in einer nicht invarianten bilden, was beides die Transformationseigenschaften ändert. Das resulitierende Objekte wird also kein Vektor sein.

Vektoren

Wir sind noch nicht ganz durch mit den Symmetrien der Raumzeit. Wir haben bereits über Rotationen, Boosts und Spiegelungen gesprochen, doch es fehlt noch eine wichtige Klasse von Transformationen. Und das sind die Verschiebungen, sowohl in Räumlicher wie auch in Zeitlicher Richtung. Wenn man die Verschiebungen mit den Lorentztransformationen kombiniert, dann erhält man die Gruppe (Ja, Gruppe ist der Richtige Begriff) der Poincarétransformationen.

Und an dieser Stelle sollten wir über den Begriff Vektor reden. Den in der Physik (und auch in der Mathematik) ist ein Vektor mehr als nur eine Ansammlung von Zahlen die wir Komponenten nennen. Ein Vektor ist stets in eine größere Struktur eingebettet und untrennbar mit seiner Basis verbunden. Er ist definiert durch sein Verhalten, wenn man die Umgebende Struktur transformiert. Wenn das Thema näher interessiert, der sollte sich dem Thema Differenzialgeometrie widmen. Für uns ist hier nur relevant, was wir als Vektor bezeichnen und was nicht.

Hyperbolischerotationen

Bewaffnet mit diesen Wissen können wir uns jetzt die Lorentztransformation genauer anschauen:

Erneut wird denen mit scharfen mathematischen Gespür auffalen, das es sich hierbei um eine lineare Transformation handelt und sie sich damit als Matrix multiplikation schreiben lässt:

Nun da wir ein neues Maß für die Geschwindigkeit haben würde es sich vielleicht lohnen \(\beta \gamma\) und \(\gamma\) durch die neue Parametriesierung auszudrücken:

Rapidität

Wenn man Physikalische Probleme im Gerüst der speziellen Relativitätstheorie löst stößt man bei vielen Größen die sich klassisch leicht handhaben lassen schnell auf Probleme. Eine dieser Größe ist die Geschwindigkeit. In der klassischen Physik ist sie insbesondere deswegen hübsch, weil sie additiv ist. Wenn Beobachter A Beobachter B mit der Geschwindigkeit \(u\) sieht und dieser Objekt C mit der Geschwindigkeit \(u\), dann hat das Objekt für den Beobachter A die Geschwindigkeit \(u + v\), oder wenn man ins Dreidimensionale geht, mit Vectoren \(\vec{u} + \vec{v}\).